☛ * Récurrence pour étudier une monotonie

Exercice 1

On considère la suite `(u_n)`  définie par `u_0=4`  et, pour tout entier naturel `n` , `u_{n+1}=5u_n^2-2u_n` .

1. Étudier les variations de la fonction `f`  définie sur `\mathbb{R}`  par `f(x)=5x^2-2x` .
2. a. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel `n` , \(2 \leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\) .
    b. Que peut-on en déduire pour la suite `(u_n)`  ?

Exercice 2

On considère la suite `(u_n)`  définie par `u_0=1`  et, pour tout entier naturel `n` , \(u_{n+1}=\displaystyle\frac{u_n}{u_n^2+1}\) .

1. Étudier les variations de la fonction `f`  définie sur `\mathbb{R}`  par \(f(x)=\displaystyle\frac{x}{x^2+1}\) .
2. a. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel `n` , \(0\leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 1\) .
    b. Que peut-on en déduire pour la suite `(u_n)`  ?

Énoncé Un cas plus général

On considère une fonction `f`  définie sur \(\mathbb{R}\) . On suppose de plus que `f`  est croissante sur `\mathbb{R}` .
Soit `(u_n)`  une suite de premier terme `u_0`  et telle que, pour tout entier naturel `n` , `u_{n+1}=f(u_n)` .

1. On suppose, dans cette question, que  \(u_0 \geqslant u_1\) . À l'aide d'un raisonnement par récurrence, montrer que la suite `(u_n)`  est décroissante.
2. On suppose maintenant que \(u_0 \leqslant u_1\) . Étudier la monotonie de la suite `(u_n)` .

Solution 

1.  \(\forall n \in \mathbb{N}\) , on pose `P_n`  : « \(u_{n+1} \leqslant u_n\)   » .

• Initialisation 
  Par hypothèse,  \(u_1 \leqslant u_0\)  donc `P_0`  est vraie.
  
• Hérédité
  Soit  `n` un entier naturel fixé.
  On suppose que \(u_{n+1} \leqslant u_n\) .
  Montrons que  \(u_{n+2} \leqslant u_{n+1}\) .
  Par hypothèse de récurrence,  \(u_{n+1} \leqslant u_n\) .
  Or,  `f`  est croissante sur `\mathbb{R}`  donc  \(f(u_{n+1}) \leqslant f(u_n)\) .
    \(f(u_{n+1})=u_{n+2}\) et `f(u_n)=u_{n+1}`  donc `P_{n+1}`  est vraie.
  
• Conclusion
  Par récurrence, `\forall n \in \mathbb{N}` , \(u_{n+1}\leqslant u_n\) .
  Ainsi la suite `(u_n)`  est décroissante.
  

2. Dans le cas où \(u_0 \leqslant u_1\) , la suite `(u_n)`  est croissante. La démonstration se fait par récurrence. Les arguments sont identiques à ceux employés dans la démonstration précédente.